4n+1型素数の部屋

 
 





∂証明の部屋 

 

最終更新日 2011年 6月 12日  日曜日

4n+1型素数の面白さについて

2010年4月25日 日曜日

突然ですが4n+1型素数の面白さについて述べさせていただきたいと思います。

ここに、まず100以下の素数25個を順番に並べました。

(素数とは1以外で、1とそれ自身でしか割り切れない数のこと)

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 

79 83 89 97 


次に n を 自然( 1.2.3.・・・)として、4n+1型素数とそれ以外の素数に分けてみます。

@ 4n+1型

5 13 17 29 37 41 53 61 73 89 97



A それ以外の素数 (2と3以外は4n+3型になります)

2 3 7 11 19 23 31 43 47 59 67 71 79 83 

続いて4n+1型素数のみに注目し、縦に並べてみます。


13
17
29
37
41
53
61
73
89
97

続いてこれからが本番です!

上の11個の素数は100以下の、4n+1型素数をただ順番に並べただけです。
一見これといって何の規則性や法則性は見当たらないように見えます。


 が しかし!!   

この素数はなんと、次のように 二つの平方数の和で表す事が出来るのです。

5=1²+2 ²

13=2 ²+3 ²

17=1²+4 ²

29=2 ²+5 ²

37=1²+6 ²

41=4 ²+5 ²

53=2 ²+7 ²

61=5 ²+6 ²

73=3 ²+8 ²

89=5 ²+8 ²

97=4 ²+9 ²



どうですか、びっくりしたでしょう、

え、びっくりしない? そうですか・・・・・・・・・・・ ガク 。

結論から言いますと4n+1型素数は必ず、絶対、100パーセント、 

しかもたった1組の 二つの平方数の和で表すことが出来るのです!!

いや〜 不思議ですね〜 すごいですね〜 感動ですね〜 マジックですね〜

いや もう言葉では言い表すことが出来ませんね〜

数学知識の乏しい私にとっては まったく理解する事が出来ません

しかし感動しました。


以下では4n+1型素数について、日ごろ思いついた事を

書かせていただいております、では 宜しくお願いいたします。


   すべての正の整数は、高々三つの三角数の和で表す事が出来るが

@ 4n+1型素数の n は 高々二つの三角数の和で表す事が出来る。

       n = a( a+1 )/ 2 + b( b+1 )/ 2          ( a,b : 非負整数 ) ( a > b )

                                       証明



 

4n+1型素数nの二平方和表示について

2010年5月9日 日曜日

また 4n+1型素数 P の二つの平方数は 次のように表す事が出来る

A 4n+1型素数 P = ( a + b + 1 ) ² +  ( a - b ) ²

                                                         ( a ,b :非負整数 ) ( a > b )

                          ※  非負整数とは (0,1,2,3、・・・) の事
  例

    5=2 ²+1²=( 1+0+1 )²+( 1- 0 )²

   13=3 ²+2 ²=( 2+0+1 )²+( 2 - 0 )²

   17=4 ²+1²=( 2+1+1 )²+( 2 - 1 )²

   29=5 ²+2 ²=( 3+1+1 )²+( 3 - 1 )²

   37=6 ²+1²=( 3+2+1 )²+( 3 - 2 )²
    ・
    ・
    ・
                                     
証明

 


 

4n+1型素数 P=Y ²+Z ² において P、 Y、 Z、 で作る直角三角形の面積
について

2010年6月11日 水曜日



4n+1型素数 P=Y ²+Z ² において

 n = a ( a + 1 ) / 2 + b ( b + 1 ) / 2  とし   ( a ,b :非負整数 ) ( a > b  )  

斜辺を √P 、 残りの二辺を Y 、Z  とする直角三角形を作るとき

その直角三角形の面積を S とすると   

  B S = a ( a + 1 ) / 2  -  b ( b + 1 ) / 2

   と 表す事が出来る。



 



                                                証明




4n+1型素数 P = Y ²Z ² について Y と Z の 実際の数値を求める表について

 2010年7月11日 日曜日                     

 
C



                              

                              表1



この表の使い方について、ご説明させていただきます


まず 4n+1型素数 P = Y ²+Z ² =109 を例といたします

まず最初に n を求めます 

n=(109−1)/4  =27

上の表のやや中央 赤い三角数のラインから下で 27 を探します・・・@ 

27を見つけたら、そこから垂線を下ろすと、赤い Y 列の交点の数字とぶつかります

この場合 10 が Y の値です・・・A

次に@で探した 27 から、左斜め上45度のラインで同じ 27 を探します・・・B

探したらその数字の真上の Z列 との交点の数字 3 が Z の値です・・・C

確認

10²+3² = 100 + 9 = 109


 
ちなみに、この表の数字の意味は



です。




この表は単純なパターンから出来ているので、先の数字はいくらでも伸ばす事が

可能です。



Y ²+Z ² の形をした4N+1型 ”奇数” の N の
性質について


2010年8月1日 日曜日

 
      
C α²+β² という形の 4N+1型” 奇数 ” Q を考えます

α=(2c+1)   β=( 2d )  ( c,d : 非負整数 )   とする


そして次のような操作をいたします

n を超えない最大の平方数を求め r とします ( n ≧ r ) 、その数を n から引き

その答えを e とします

次に e を4倍して1を足し、その答えを f とします

√f を求めます

この操作を、α の値を一定にし β の d値 を1ずつ増やす形で計算し

横に並べてみます。

1.α=1の場合

番号 α   β     Q      n            r           e       f     √f

1   1     2         5         1            1 ²         0       1        1

2   1     4        17        4            2 ²         0       1        1

3   1     6        37        9            3 ²         0       1        1

4   1     8        65       16           4 ²         0       1        1

5   1     10   101       25         5 ²         0       1        1
  



   
この場合 √f の値は1となり α の値の ”1” と一致しています。


2.α=3 の場合

番号 α  β    Q      n          r          e      f    √f

1   3    4       25         6            2 ²            2        9         3

2   3    6       45         11          3 ²           2        9         3

3   3    8       73         18          4 ²            2        9         3

4   3    10      109        27          5 ²            2        9         3

5   3    12   153        38         6 ²            2        9         3
    


この場合 √f の値は 3 となり、 αの値の ”3” と一致しています。


3.奇数=5 の場合

番号 α  β    Q     n          r        e         f      √f

1   5    6       61       15          3 ²        6        25        5

2   5    8       89       22          4 ²        6        25        5

3   5    10      125      31          5 ²        6        25        5

4   5    12      169      42          6 ²        6        25        5

5   5    14    221      55        7 ²       6        25        5
    




この場合  √f の値は 5 となり αの値の ”5” と一致しています。


もしこのままうまくいけば、4N+1型奇数の中には 4n+1型素数 P 

当然含まれるので、n値 から最大平方を引くだけで Y値 が分かり

おのずと Z値も分かるのではないかと期待してしまいます。

次に進めてみます

4.奇数=7 の場合

番号 α   β       Q        n         r        e           f     √f

1   7      8       113          28         5 ²        3         13        -

2   7     10      149          37         6 ²        1          5         -

3   7     12      193          48         6 ²        12       49         7

4   7     14      245          61         7 ²        12       49         7

5   7     16     305          76        8 ²      12       49         7
    
6   7       18       373          93         9 ²       12       49         7

7       7       20      449          112       10 ²      12       49         7

この場合 前半二つが破綻してしまいましたが,後の√f=7の値は 

αの値”7 ”と一致しています。

ちなみに破綻したn=37に対しては最大平方より1つ下の平方数 5 ² を引くと
37−5 ² =12 となり √f=7 になります
n=28に対しても同様に計算して 28−4² =12 √f=7 となります

ここで次のような事を考えました

@ αの値と破綻する番号との因果関係

A 一度破綻から回復するともう二度と破綻は起こらないのか

B 4n+1型素数 P=Y ²+Z ² のPのみが与えられた場合 nから、最大平方から何番目の

  平方数を引けばYとZが求まるか分かるアルゴリズム

C 4n+1型素数Pが与えられた場合 nから最大平方を引いてY、Zが求まる確率は?


以上の事に対して 

2010年 8月 2日(月)01時16分8秒  私的数学塾 掲示板にて

らすかるさんから次のようなアドバイスを頂きました。

なぜα<βに限定しているのですか?

>@ αの値と破綻する番号との因果関係
破綻するのは α^2≧4β+5 つまり β≦(α^2-5)/4 の場合です。
α<βに限定せず、β=2{(番号)-1} とするのであれば
(番号)≦(α^2+3)/8 のとき破綻します。
α<βに限定する場合は (番号)=(β-α+1)/2 ですから
(番号)≦{(α-2)^2-5}/8 のときに破綻します。

>A 一度破綻から回復するともう二度と破綻は起こらないのか
上記により、起こりません。

>B アルゴリズム
それがわかったらすごいですね。

>C 4n+1型素数Pが与えられた場合 nから最大平方を引いてY、Zが求まる 確率は?
α≪βである可能性が高いとは考えられませんので、
一般的にはα^2≧4β+5を満たし、確率は0になると思います。

大変勉強になりました、らすかるさん 有難うございます。




二つの4n+1型素数の積の素因数分解に関する
アルゴリズムについて


2010年8月19日 木曜日


次のような事を考えてみました

まず二つの4n+1型素数をPn、Pmとし
Pn=A ²+B ²
Pm=C ²+D ²

とする、 次に
PnPm=Q とし、Qの値のみ与えられたとする
Qを二種類の平方和に分ける

Q₁=(AC - BD) ²+(AD+BC) ²
Q₂=(AC+BD) ²+(AD - BC) ²

次に以下の計算をする
((AC - BD)+(AC+BD))/2=AC
((AD - BC)+(AD+BC))/2=AD
((AD+BC)-(AD - BC))/2=BC
((AC+BD)-(AC - BD))/2=BD

AC+AD+BC+BD=( A+B )( C+D )

ここまでの目的は
(A ²+B ²)(C ²+D ²)を( A+B )( C+D )
の形に変える事です

次に( A+B )( C+D )を既存の素因数分解プログラムで解く

( A+B )( C+D )= F^a×G^×H^×I^・・・

次に
その素因子をいろいろ組み合わせて以下の式に入れて Q を割り切るまで試す

たとえば

( 4+5 )( 7+8 )=135=3×3×3×5
 =(3×3)(3×5)とする

まず(3×5)を( C+D )であると仮定して

((AC+AD) ²+(BC+BD) ²)/( C+D ) ²=A ²+B ²

これでQを割ってみて割り切れれば正解になります。

以上の事に対して


2010年 8月19日(木)02時12分27秒  私的数学塾 掲示板にて

らすかるさんより次のようなアドバイスを頂きました

間違いはないと思いますが、AC,AD,BC,BDが出れば
AはACとADの最大公約数、BはBCとBDの最大公約数、
CはACとBCの最大公約数、DはADとBDの最大公約数ですから、
さらに素因数分解する必要はないですね。

実例
790037は
790037=71^2+886^2
790037=626^2+631^2
の2通りに書けます。
偶奇が同じ組の和と差の半分を求めて

(631+71)/2=351, (631-71)/2=280, (886+626)/2=756, (886-626)/2=130
GCD(351,756)=27, GCD(280,130)=10
GCD(351,130)=13, GCD(280,756)=28
∴790037=(27^2+10^2)*(13^2+28^2)=829*953
のように求まります。

ちなみに、x^2≡-1 (mod 790037) となる790037/2以下の2数は
157756と255915ですが、これらがわかっていれば
GCD(790037, 255915+157756)=829
GCD(790037, 255915-157756)=953
のように素因数が求められます。

とても整理され分かりやすくなりました
らすかるさんどうもありがとうございます。


RSAチャレンジについて

2010年11月11日 木曜日  私的数学塾 掲示板にて
投稿日:2010年11月 7日(日)20時54分41秒

次のようなものを考えてみました。

2007年に終了してしまいましたが
RSAセキュリティー社が RSAチャレンジという素因数分解の
懸賞問題を出しておりました

http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_numbers

その中にRSA−220という220桁の
問題があり、今回C言語でプログラムを作り
計算してみたのですが本来分解すべき数よりも
だいぶ膨れあがってしまいました
うまく数を調整して、ぴったりに出来ないものでしょうか
いろいろやってみたのですが どうもうまくいきません

RSA-220

2260138526203405784941654048610197513508038915719776718321197768109445641817
9666766085931213065825772506315628866769704480700018111497118630021124879281
        99487482066070131066586646083327982803560379205391980139946496955261

計算
                  10419533885 6786555042
   2608535799 5010108040 7401112867 4483920683 2248879140
   7325247973 7179976253 7533952271 3096005842 5885216367
   9067611378 6963371014 1397164527 1590463496 8064752433
   8094771574 8117281708 4024823192 3173529949 9128095173
   *
                                    9580466114 3213444957
   7391464200 4989891959 2598887132 5516079316 7751120859
   2674752026 2820023746 2466047728 6903994157 4114783632
   0932388621 3036628985 8602835472 8409536503 1935247566
   1905228425 1882718291 5975176807 6826470050 0871904857
   =
              9982399131 8767368814 0102196894 2111303631←
   3434507858 3814307110 2716911405 8804086858 1305281925
   5582795525 7332370564 8598726425 6435638723 0598687966 この間の部分が余計です
   4112816066 9863252374 1386214536 0063281206 1764641672
   8134856205 3200874080 7742327788           ←
                                    2260138526 2034057849
   4165404861 0197513508 0389157197 7671832119 7768109445
   6418179666 7660859312 1306582577 2506315628 8667697044
   8070001811 1497118630 0211248792 8199487482 0660701310
   6658664608 3327982803 5603792053 9198013994 6496955261

今回 VECTORの中にLMというフリーソフトがあり
数式のまま入力できて
絶対値が約10^100000000までの数値が扱えて
Cに近い言語が使えて しかも
コピーして”編集→クリップボードから実行”
で簡単に計算できるので大変助かりました

http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se242555.html


この投稿に対して、らすかるさんからアドバイスを頂ました。

Re: RSAチャレンジについて

 投稿者:らすかる  投稿日:2010年11月 7日(日)22時17分47秒

>うまく数を調整して、ぴったりに出来ないものでしょうか
素因数とは関係ない数を掛けて下位220桁が一致しているだけのように
見えますが、もしそうなら「調整してぴったりにする」のは
不可能だと思います。


やはりダメでしたか、ザンネン。らすかるさんどうも有難うございます。






2011年 5月 1日  日曜日  私的数学塾 掲示板にて

ある数式について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 4月17日(日)00時03分0秒
 

  今悩んでいる問題がございます。

a±(b^2+b)=平方数    (a,b:非負整数)

という式があるとき
aとbはどのような組み合わせにしたら良いのか
何か法則が存在するのでしょうか、
良きアドバイスを宜しくお願いいたします。

Re: ある数式について

 投稿者:HP管理者  投稿日:2011年 4月17日(日)08時00分21秒
 

  > No.3533[元記事へ]

a±(b^2+b)=平方数    (a,b:非負整数)
直ぐに思いつくのは、
(a,b)= (1,0)、(2,1)、(10,2)、(13,3)、・・・
整数列辞典で検索すると、「A062317」かな?

Re: ある数式について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 4月18日(月)00時11分13秒
 

  HP管理者さんへのお返事です。

>  a±(b^2+b)=平方数    (a,b:非負整数)
> 直ぐに思いつくのは、
> (a,b)= (1,0)、(2,1)、(10,2)、(13,3)、・・・
> 整数列辞典で検索すると、「A062317」かな?

どうも有難うございます、
参考にさせていただきます。

ちなみに
ある4n-1型巨大合成数があり(たとえば300桁以上でも)
n+(b^2+b)=c^2    (n,b,c:非負整数)
とし
nとbの値が分かるならば
素因数分解が出来るのですが・・・
もう少し考えてみます。





Re: ある数式について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 4月19日(火)00時26分48秒
返信・引用

  ちなみに

RSA-200 = 27997833911221327870829467638722601621070446786955
428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910
951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178
863178946295187237869221823983
では

(RSA-200)=4n-1として
n+(b^2+b)=c^2 とすると

n= 699945847 7805331967 7073669096 8065040526 7611696738
   8571343900 0248233153 2100026902 3364177632 3884021401
   5455587977 7378414471 5927648862 0501644193 7746451394
   0339477468 3737536044 7157947365 7379680946 7305455996

b= 1098352005 0188907280 1862021582 0398829766 6946142916
   4873427125 6718169911 6547846822 3383071533 7053024279

c= 2864582972 2202757886 5492270491 9631014102 2933143904
   6124609590 8452557972 2816243938 3385998931 5317068454

となります。

http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge

Re: ある数式について

 投稿者:らすかる  投稿日:2011年 4月19日(火)04時50分25秒
 

  > No.3536[元記事へ]

k.nikaさんへのお返事です。

b=n-1, c=n とおけば n+(b^2+b)=c^2 は常に成り立ちますね。

Re: ある数式について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 4月20日(水)00時43分23秒
 

  らすかるさんへのお返事です。

> b=n-1, c=n とおけば n+(b^2+b)=c^2 は常に成り立ちますね。

なるほど、たしかにそうですね
後は n と b との組み合わせは1組だけなのか
それとも何組か存在するのでしょうか?
今後の研究課題です。

話は変わりますが
次の様なものも考えてみました

A=(2*a)+1
B=(2*b)+1
C=A*B          (a,b:非負整数)(A>B)
とする

Cは二つの平方差で表す事が出来るので
C=D^2-E^2

とすると
D=(A^2+C)/(2*A)
E=(A^2-C)/(2*A)

と表す事が出来る。


85=17*5=11^2-6^2
11=(17^2+85)/(2*17),  6= (17^2-85)/(2*17)

189=21*9=15^2-6^2
15=(21^2+189)/(2*21), 6=(21^2-189/(2*21)

Bの数を使わずにAとCのみで二つの平方差が
作れるのが面白いなと思いました。



Re:ある数式について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 4月20日(水)23時47分54秒
返信・引用

  ちなみに
昨日の数式
A=(2*a)+1
B=(2*b)+1
C=A*B
C=D^2-E^2    (a,b:非負整数)(A>B)
ですが

D=(C+B^2)/(2*B)
E=(C-B^2)/(2*B)
とも表す事が出来ます。


85=17*5=11^2-6^2
11=(85+5^2)/(2*5),  6= (85-5^2)/(2*5)

189=21*9=15^2-6^2
15=(189+9^2)/(2*9), 6=(189-9^2)/(2*9)

申し訳ございません、
昨日の数式の一部、手直しさせて
頂きました。


4n-1型合成数のnについて

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 5月 1日(日)17時10分12秒
 

  4n-1型合成数のnについて
平方数 - 矩形数の形に表してみました
RSA()=4*n-1
n=c^2-(b^2+b)   (c>b)
とすると

RSA-576 = 188198812920607963838697239461650439807163563379417382700763356422988859715234665485319
060606504743045317388011303396716199692321205734031879550656996221305168759307650257059

   n=                           470 4970323015 1990959674
   3098654126 0995179089 0844854345 6751908391 0574721492
   8808666371 3297651516 2618576132 9347002825 8491790499
   2308030143 3507969887 6642490553 2629218982 6912564265

   c=            2177118 0813287505 9983337143 1308586789
   5799476441 1155956216 5593401766 1677505340 6339745211

   b=             186742 6492084259 1284774392 8556654333
   5846258323 9892602013 3667453886 4358057477 5455453552




RSA-150 =
155089812478348440509606754370011861770654545830995430655466945774312632703
463465954363335027577729025391453996787414027003501631772186840890795964683

   n=
    387724531 1958711012 7401688592 5029654426 6363645774
   8857663866 7364435781 5817586586 6488590833 7568944322
   5634786349 9196853506 7508754079 4304671022 2698991171

   c=                         19841 4403001481 1092543028
   9420866990 0209113838 4120379025 9574484052 0184676729

   b=                          2440 9469450339 2615123176
   6868487318 7793607429 7368451741 5096502174 6045471370




参考資料 RSAチャレンジ
http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge


4n+1型合成数のnについて

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 5月 4日(水)23時38分45秒
 

  4n+1型合成数のnについて
矩形数 - 平方数の形に表してみました
RSA640=4*n+1
n=(b^2+b)-c^2   (b>c)
とすると

   RSA640 = 31074182404900437213507500358885679300373460228427275457
            20161948823206440518081504556346829671723286782437916272
            83803341547107310850191954852900733772482278352574238645
            4014691736602477652346609

   n=      77 6854560122 5109303376 8750897214 1982509336
   5057106818 8643004048 7205801610 1295203761 3908670741
   7930821695 6094790682 0950835386 7768277125 4798871322
   5183443120 5695881435 5966135036 7293415061 9413086652

   b=  883901 2318685189 9039249636 4450126208 8284201150
   0040195146 1937347869 3400509766 5316254232 7357244287

   c=   66534 4089638920 6617092942 2517580778 9075282799
   8385579537 1381921674 6735009243 9908693626 8273488498




参考資料 RSAチャレンジ
http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge



RSA-270について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 5月12日(木)15時42分50秒
 
  RSA-270を
平方数 - 矩形数の形に表してみました


RSA-270=2331085303444075445276376569106805241456198124803054490429486119684959182
        4513578286788836931857711641821391926857265831491306067262691135402760979
        3166341626693946596196427744273886601876896313468704059066746903123910748
        277606548649151920812699309766587514735456594993207



RSA-270=A^2-(B^2+B)
とすると

A=1038400392713821719875861360360816545159818813745166375672057573514829889568770
  3817406318157835423297964634803229334986121320613009727283565428349566490691820
  83641278178929467908459772120300164794919008892412779689032012188743

B=1038400392713821719875861360360816545159818813745166375672057573514829889568770
  3817406318157835423297964634803229334986121320613009727283565428349566490691820
  83641278178929467908459659876250576568712194325138058007705726234518


これが平方数 - 平方数なら
素因数分解完成なのですが...



参考資料 RSAチャレンジ
http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge



 

 


RSA-704について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 5月12日(木)14時29分9秒
 
  RSA-704を
平方数 - 矩形数の形に表してみました


RSA-704=74037563479561712828046796097429573142593188889231289084936232638972765034
    02826627689199641962511784399589433050212758537011896809828673317327310893
    0900552505116877063299072396380786710086096962537934650563796359



RSA-704=A^2-(B^2+B)
とすると

A=148075126959123425656093592194859146285186377778462578169872465277945530068
  056532553783992839250235687991788661004255170740237936196573466346546217861
  80110501023375412659814479276157342017219392507586930112759273

B=148075126959123425656093592194859146285186377778462578169872465277945530068
  056532553783992839250235687991788661004255170740237936196573466346546217861
  80110501023375412659814479276157342017219392507586930112759270


これが平方数 - 平方数なら
素因数分解完成なのですが...




RSA-250について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 5月13日(金)19時00分21秒
 
  RSA-250を
矩形数 - 平方数の形に表してみました


RSA-250=2140324650240744961264423072839333563008614715144755017797754920881418023447
        1401366433455190958046796109928518724709145876873962619215573630474547705208
        0511905649310668769159001975940569345745223058932597669747168173806936489469
        9871578494975937497937



RSA-250=(A^2+A)-(B^2)
とすると

A=5994158821997854916942411984353581528874270814716484578748939711567467893756835
  3354178746676506203515294674495788750086840829876160366357071935266577838991827
  00647838654065662656120439490516250944021726198456242827379169574329548519921

B=5994158821997854916942411984353581528874270814716484578748939711567467893756835
  3354178746676506203515294674495788750086840829876160366357071935266577838991827
  00647838654065662656120439490516250944021726198456242827379169395795352663615






RSA-617について

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 5月14日(土)15時48分55秒
 

  RSA-617を
矩形数 - 平方数の形に表してみました。


RSA-617=2270180129378501419358040512020458674106123596276658390709402187921
        5171483119139894870133091111044901683400949483846818299518041763507
        9489225907749254660881718792594659210265970467004498198990968620394
        6001774309447381105699129412854289188085536270740767072259373777266
        6973440977361243336397308051763091506836310795312607239520365290032
        1058488395079814523072994171857157962974549950235053160409198591937
        1802330741488044621792280083176604093865634457103477855345712108053
        0736394535923932651866030515041060966437313323672831539323500067937
        1075419554373624332483612425259458688023539167661815323758555048869
        01432221349733



RSA-617=(A^2+A)-(B^2)
とすると


A=119483164704131653650423184843182035479269662961929388984705378311
  658797279574420499316489953216025798333689207809720096313252851386
  883941697846183818242569325680312978531718931824739209578416299273
  891894830226813020058194691021729173115162396645828461424855756514
  592984070741986111807033670042377700481614927951554276880208001922
  579116346572839515691854248944300977451559460289447492133242320630
  837861673806881130949716936435793851400215466612339847551466070826
  953055424928392294336487641400160605479268244406912229857008101702
  631936511092326081249275964465059171189188783170283772453587012504
  5026572994812222176306


B=119483164704131653650423184843182035479269662961929388984705378311
  658797279574420499316489953216025798333689207809720096313252851386
  883941697846183818242569325680312978531718931824739209578416299273
  891894830226813020058194691021729173115162396645828461424855756514
  592984070741986111807033670042377700481614927951554276880208001922
  579116346572839515691854248944300977451559460289447492133242320630
  837861673806881130949716936435793851400215466612339847551466070826
  953055424928392294336487641400160605479268244406912229857008101702
  631936511092326081249275964465059171189188783170283772453587012504
  5026572994812222176297






参考資料 RSAチャレンジ
http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge


4n+1型合成数の関係式

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 6月 5日(日)23時57分46秒
 

  以下のような関係式を考えてみました。

Q=(4*n)+1
とし、Qが
Q=((2*A)+1)*((2*B)+1)
と二つの奇数の積で表され、nが
n=(C^2+C)-D^2
と、矩形数と平方数の差で表される時
以下の関係式が成り立つ

A*B=C^2-D^2     (A,B,C,D : 非負整数)

例1
Q=(2*40+1)*(2*10+1)=81*21=1701
n=(1701-1)/4=425=(25^2+25)-15^2
40*10=25^2-15^2=400

例2
Q=(2*30+1)*(2*20+1)=61*41=2501
n=(2501-1)/4=625=(25^2+25)-5^2
30*20=25^2-5^2=600

例3
Q=(2*100+1)*(2*60+1)=201*121=24321
n=(24321-1)/4=6080=(80^2+80)-20^2
100*60=80^2-20^2=6000



ただし厳密に証明出来た訳ではございませんので
誤りであるかも知れません
間違っていたらごめんなさい。

Re: 4n+1型合成数の関係式

 投稿者:FN  投稿日:2011年 6月 6日(月)18時32分49秒
 
  k.nikaさんへのお返事です。

> 以下のような関係式を考えてみました。
>
> Q=(4*n)+1
> とし、Qが
> Q=((2*A)+1)*((2*B)+1)
> と二つの奇数の積で表され、nが
> n=(C^2+C)-D^2
> と、矩形数と平方数の差で表される時
> 以下の関係式が成り立つ
>
> A*B=C^2-D^2     (A,B,C,D : 非負整数)

このままでは正しくないですね。例えば
Q=45=4*11+1=5*9=(2*2+1)*(2*4+1) A*B=8
n=11=4^2+4-3^2  C^2-D^2=7

Q=3*15=(2*1+1)*(2*7+1) とすればA*B=7となって成り立つ。
あるいはnをn=3^2+3-1^2に変えてもよい。A,B,C,Dが別々に決まって
いては成り立たないですがA,Bに対してC,Dを決める(または逆)ならば
成り立ちます。即ち次の形なら成り立ちます。

Q=(4*n)+1がQ=((2*A)+1)*((2*B)+1)と表されるとき
n=(C^2+C)-D^2 , A*B=C^2-D^2を満たす非負整数C,Dが存在する。

C,Dは具体的に求まります。C,Dに対してA,Bも求まります。
従ってA,Bに対してC,Dは一意的になります。次の形で成り立ちます。

Q=4*n+1(nは自然数)とする。
Qを2つの自然数の積としてQ=(2*A+1)*(2*B+1)(A≧B≧0)と表す表し方と
nを矩形数と平方数の差としてn=C^2+C-D^2(C≧D≧0)と表す表し方とは
次の対応により1対1に対応する。
(A,B)→(C,D)  C=(A+B)/2 , D=(A-B)/2
(C,D)→(A,B)  A=C+D , B=C-D

証明は簡単な式変形です。A,Bの偶奇が一致することの証明も必要ですが。

このことからQを2つの自然数の積に表すこととn=C^2+C-D^2を満たすC,D
を求めることとは同じであることになります。
一見前者のほうが簡単に見えますが後者のほうが簡単であるような場合も
あるのでしょうか。
 

Re: 4n+1型合成数の関係式

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 6月 6日(月)23時30分7秒
 

  FNさんへのお返事です。

どうも有難うございます。
あの後、私も考えてみたのですが
FNさんの示された例のような

Q=45=4*11+1=5*3*3 など

最初にnを矩形数 - 平方数の形にし、その後
Q=4*n+1
とQを求め、それを素因数分解して
Qが3つ以上の奇数の積で表される場合
それを二つの奇数の積に直した時に
その組み合わせ方によって合う場合と
そうでない場合が出てしまうようです。
少し強いしばりになりますが
4行目の"奇数"を"素数"に変えると
大丈夫でしょうか?

Q=(4*n)+1
とし、Qが
Q=((2*A)+1)*((2*B)+1)
と二つの素数の積で表され、nが
n=(C^2+C)-D^2
と、矩形数と平方数の差で表される時
以下の関係式が成り立つ

A*B=C^2-D^2     (A,B,C,D : 非負整数)

また
n=(C^2+C)-D^2
の形に表す方法は、ただいま研究中で
行き詰まっております。




 

Re: 4n+1型合成数の関係式

 投稿者:FN  投稿日:2011年 6月 7日(火)07時30分53秒
 

  > No.3576[元記事へ]

k.nikaさんへのお返事です。

> 4行目の"奇数"を"素数"に変えると
> 大丈夫でしょうか?

これなら問題ないでしょう。前に書いたように

>Qを2つの自然数の積としてQ=(2*A+1)*(2*B+1)(A≧B≧0)と表す表し方と
>nを矩形数と平方数の差としてn=C^2+C-D^2(C≧D≧0)と表す表し方とは
>次の対応により1対1に対応する。

が成り立ちます。Qが素数の積なら前者はQ=Q*1を含めて2通り。
Q=Q*1に対応するC,DはC=D=nですがこれは当然除くのでしょうから
C,Dは1通りしかなく成り立つことになります。


4n-1型合成数の美しい関係式

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 6月 8日(水)00時26分4秒
 

  FNさんへのお返事です。

どうもありがとうございます。
FNさんの内容を私のホームページに
載せさせて頂きたいと思いますが
宜しいでしょうか
どうぞ宜しくお願いいたします。

話は変わりますが次のような4n-1型合成数の
関係式を考えてみました。

R=(4*n)-1
とし、Rが
R=((2*A)+1)*((2*B)+1)
と二つの奇数の積で表され、
A-B=(2*C)+1           (A>B)
の関係がある時
以下の関係式が成り立つ。

A=C+√(C^2+C+n)       (n,A,B,C : 自然数)


R=4*37-1=147
147=(2*3+1)*(2*10+1)
C=(10-3-1)/2=3
10=3+√(3^2+3+37)


私はこの式を美しいと感じたのですが
いかがでしょうか
証明はとても簡単なので興味のある方
どうぞ宜しくお願いいたします。





Re: 4n-1型合成数の美しい関係式

 投稿者:FN  投稿日:2011年 6月 8日(水)12時53分12秒
 

  k.nikaさんへのお返事です。

> FNさんの内容を私のホームページに
> 載せさせて頂きたいと思いますが
> 宜しいでしょうか

はい。かまいません。

> R=(4*n)-1
> とし、Rが
> R=((2*A)+1)*((2*B)+1)
> と二つの奇数の積で表され、
> A-B=(2*C)+1           (A>B)
> の関係がある時
> 以下の関係式が成り立つ。
>
> A=C+√(C^2+C+n)       (n,A,B,C : 自然数)

前に次のように書きました。

>Qを2つの自然数の積としてQ=(2*A+1)*(2*B+1)(A≧B≧0)と表す表し方と
>nを矩形数と平方数の差としてn=C^2+C-D^2(C≧D≧0)と表す表し方とは
>次の対応により1対1に対応する。

ここでQはQ=4*n+1です。k.nikaさんのA=C+√(C^2+C+n)はR=4*n-1に対する
同様の次の関係を導きます。

R=4*n-1を2つの自然数の積としてR=(2*A+1)*(2*B+1)(A>B≧0)と表す表し方と
nを平方数と矩形数との差としてn=D^2-(C^2+C)(D>C≧0)と表す表し方とは
次の対応により1対1に対応する。
(A,B)→(C,D)  C=(A-B-1)/2 , D=(A+B+1)/2
(C,D)→(A,B)  A=C+D , B=D-C-1

A=C+√(C^2+C+n)において√(C^2+C+n)は当然自然数なのでこれをDとおけば
A=C+Dでn=D^2-(C^2+C) この式を満たすC,DがあればA=C+D,B=D-C-1とおいて
(2A+1)(2B+1)を計算すれば4n-1になります。

ということで4n+1(または4n-1)を自然数の積に表すにはnを矩形数−平方数
(または平方数−矩形数)の形に表せばよいことになります。
このことが役に立つのかどうかはわかりません。

なお R=4n-1のときのA=C+√(C^2+C+n)に対応する、Q=4n+1のときの式は
A=C+√(C^2+C-n)になります。A-B=(2*C)+1に対応するのはA+B=2*Cです。





Re: 4n-1型合成数の美しい関係式

 投稿者:k.nika  投稿日:2011年 6月 9日(木)00時02分24秒
 

  FNさんへのお返事です。

詳しい解説
どうも有難うございます。
今のところ
nを矩形数−平方数あるいは
平方数−矩形数の形に表す事で
Q又はRを素因数分解することに
限界を感じています
また、何かひらめきましたら
投稿させて頂きたいと思います
どうもありがとうございました。








ちなみに 4n+1型素数の部屋、および証明の部屋 はリンクフリー
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